如果回顾过去的话，数学最少有三次危机。
第一次是和谋杀案联系在一起的。
公元前的6世纪，毕达哥拉斯学派认为：“任意两条线段的比都是整数比”。他说的既有整数也有分数，分数也可以表示成两个整数之比。
结果后来出现了一个问题：如果正方形边长是1的话，那么对角线值是多少？
毕达哥拉斯发现了勾股定理，问题同样可以改成：直角三角形，两条直角边都是1，那么斜边长是多少？
毕达哥拉斯冥思苦想，埋头细算，熬过许多不眠之夜，竟然得不出来！最后，他认为这个数太可怕了，于是下了禁令：任何人都不许提这件事，也不许研究。
在学派中有一名成员叫希伯索斯。他对未知充满探索的兴趣，他不顾禁令，偷偷研究这个正方形对角线与边长的比例问题。这个问题扩展后，就是求正方形对角线长度与边长的比例。
希伯索斯进一步研究了正五角形。结果发现，当正五边形的边长为1时，对角线既不是整数也不是分数，这可怎么办？
当时，人们的数只有整数和用整数比来表示的分数，没有其他的数了，而希伯索斯发现的这个数竟然不是个“数”!
这个发现在学派的内部流传开来，人们惶恐不安，毕达哥拉斯学派的首脑们得知以后，研究了希伯索斯的发现，认为这真是“荒谬”的东西，简直是魔鬼的化身！
当时的毕达哥拉斯学派宗教色彩十分严重，他们对自然的看法也是人们中最权威的。毕达哥拉斯“万物皆数”的话成为毕达哥拉斯学派的真理和教规，但是希伯索斯的发现竟然让“物”不能用数来表示！于是学派内部封锁这个发现，以免动摇人们对他们的权威信仰。并且不允许任何人研究这方面的数，不管是正方形还是正五边形。
然而希伯索斯仍在探索，毕达哥拉斯学派被惹火了，把这个“异教徒”投入大海。希伯索斯可能是第一位为研究思维和自然的奥秘而不幸献身的人。
第一次数学危机就是这件事，希伯索斯发现的是无理数。无理数被后人所证明存在。现在，我们轻易地知道正方形对角线与边长之比是。
第二次数学危机是微积分发明之后。
微积分对自然科学的有力描述引起了贝克莱大主教的恐惧，他也精通数学，对牛顿提出了种种反驳。
这些矛盾主要体现在无穷小概念上。无穷小是微积分的基本概念。在牛顿的推导中，他用了无穷小作分母进行除法运算，之后他又把无穷小量看成零，去掉了它们，得出了公式。这些公式经物理学使用，证明是正确的，但是推导过程却是自相矛盾的。
无穷小到底是零还是非零？用作除法中的除数，证明不是零，可是后来又消去，近似于看成零，这怎么说得通呢？不能任意变动一个数，随心所欲是不对的。
18世纪，人们一直陷在微积分的矛盾恐慌之中，这就是数学史第二次危机，它让人们迷失了数学的确定性，直到19世纪柯西提出极限的系统理论后，这次危机告以结束。
20世纪初，智者罗素出现在哲学、数学、文学等各个领域。罗素提出集合中的一个悖论，用通俗语言来说，他在1912年提出了理发师问题。引发了第三次数学危机。
理发师悖论是：
某村一位理发师有一个声明，他只给村子里那些自己不给自己理发的人理发。那么问：理发师本人的头发谁来理呢？
要是理发师不给自己理，他就符合自己所声称的，那么他就应该给自己理；可是他给自己理，就成了给自己理发的人，那么他不应该给这种人理发，所以又不该给自己理。
两面都不是，怎么办？
罗素提出的悖论是集合悖论。用数学来表达，就是集合有两种：
第一种集：集本身不是它的元素；
第二种集：集本身是它的一个元素，比如一切概念构成的集合，一切集合构成的集合。
如果按照上面的前提，每一种集合不是第一种就是第二种。如果设第一种集的全体构成一个集合，那么这个集合属于哪一种呢？
要是属于第一种，那么就是可以认为集合本身是它的一个元素，则应归第二种。若是归到第二种，则又该归到第一种。
这就是集合悖论。人们的数学基础之一就是集合论，集合的确定性等性质是现代数学的几乎全部基础，但罗素悖论直到现在仍然是人们争论的问题。哥德尔提出了“公理集合”，这都是现代数学的复杂问题。
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