题为：仅用尺规作图，可以作出哪些正多边形？在边数为100以内，有多少种正多边形可以仅用尺规作出？
求作圆的内接正多边形是古代尺规作图中的著名难题。
从理论上分析，圆周可任意等分，因此可以作出任何相应的正多边形。但是限制只能使用真尺和圆规，就不一定能任意作出正多边形了。
早在公元前的古希腊时期，亚历山大城的学者帕普斯在《数学汇编》中记载了这样的问题：“蜂房是许许多多的六棱柱，这种设计可以避免杂物，并且使用同样多的原材料，正六边形要比正三角形和正方形都具有更大的面积。”
也就是说，在周长相同的情况下，正六边形比正三角形和正四边形的面积要大。换句话说，用绳子围成的正三角形、正方形、正六边形相比较，应当是后者的面积最大。
由这个问题的研究，人们想到能否把一个圆任意等分，这样就可以顺次连结等分点从而得到一个正多边形。
作正多边形问题就是等分圆周问题。
这就是有名的古希腊四大几何难题。
阿基米德指出，运用尺规作图的方法，可以画出正三边形(正三角形)、正四边形、正五边形和正十五边形，从而可以等分圆周。到底是什么样的几边形不能作出，或者说什么样的几边形能作出呢？
阿基米德证明了尺规作图不能作出正七边形。除非利用曲尺等标刻工具，才能作出正七边形。
之后再也没有进展，人们普遍认为，正的五、六、十、十五边形可以作出，而正的七、十一、十三、十七边形不能作出，所以推测，凡是大于5的质数，正几边形就无法作出。
1796年，一位19岁的德国哥廷根大学生作出了惊人的发现，他作出了正十七边形。他就是后来数学史上三大数学家之一的高斯。
高斯的手稿在大学传开，人们议论纷纷，教授们兴高采烈。
这位19岁的“神童”打破了两千多年的禁区，创造了几何史上的奇迹。
5年之后，高斯给出了等分圆周的一般规律。后来，许多数学家利用这个规律寻找其他正多边形的作法。
1832年，数学家力西罗作出了正257边形，演算过程写了80页纸。
最有趣的是，数学家盖尔美斯花了10年时间作出了正的65537边形，手稿竟然有满满一提箱，也就是说，这么多的步骤才能把圆用尺轨65537等分！这个手稿至今还在哥廷根大学保存着。
高斯于1777年4月30日，出生在德国的布伦瑞克城。他的父亲是一位农民的儿子，是一名喷泉技师，可能担任引水站站长的职务。在做技师时，父亲经常给人家打短工、干杂活，还做过园艺工人。
高斯全名为卡尔·弗里德里希·高斯。父亲管教比较严格，而母亲善良能干。但高斯没有受到父母知识上的启蒙。
高斯的舅舅是高斯的启蒙者，他很爱高斯，常常为高斯讲很多科学现象，但他也没有很高的学历，只是位绸缎工人。
在很小的时候，高斯就表现出过人的数学天赋。据说那是在入学以前，高斯又静静地看着爸爸算账。他就是这样，对数字感兴趣。当大人们算账的时候，他从来都很专注。
这一次，他的父亲算账算得很麻烦，费了半天劲，老高斯得出一个数来。他迟疑着想着开销的收入问题，这时高斯说话了：“爸爸，您这次算得不对。”
什么？老高斯不相信自己的耳朵：“亲爱的儿子，你说是什么呢？”
高斯告诉了爸爸正确的答案。老高斯重新算了一遍，果真是高斯说得对，而这时的高斯还没有上学。
高斯经常自豪而幽默地说：“我还不会说话的时候，先学会算术了!”这是他晚年的回忆。
后来，老高斯索性把家里的账目全都交给了10岁左右的高斯，高斯运算轻松准确。
人们熟知的是高斯求自然数1到100之和的故事。上小学时，高斯的数学老师叫布德勒，他是城里人，特别瞧不起乡下的孩子，对乡下人也抱有很大的偏见。他认为乡下孩子和乡下的人们又穷又笨，不值得一教。
不知怎么回事，这位老师有一天对孩子们生了气，他决定全体惩罚：“你们听好了，从1加到100，把和算出来！如果算不出来的话，就别想回家吃饭，家长来也没有用!”
说完之后，布德勒悠然自得地看起书来。谁知，就在他欣喜地翻开书还没看几眼的时候，高斯站起来了：“老师你看。”
“去！去！去！看什么看，再胡捣乱可不许上课了。”布德勒不耐烦地说。
“老师，这是答案，没有错的。”
布德勒向演算板上一瞟，这下惊讶得他半天说不出话来：“天哪，这是怎么回事？”
只见高斯的方法是：1+100，2+99，3+98，……，50+51。
然后是101×50，为5050。
这就是等差数列的计算方法，这不是他讲过的方法。
老师没有批评高斯，内心受到很大的震动，他对高斯很是器重并且毫不掩饰地说：“高斯比我强。”
布德勒为高斯提供了很多更深入的课本和数学著作，并尽自己的能力指导高斯的学习。
14岁时，高斯在当地已经很有名气了。据说他看书着迷误进了公爵的花园，公爵和夫人发现这个少年竟然钻研如此高深的书，很是器重。就决定出资让高斯学习，他们成了高斯的长期保护人。其实在事实上，高斯是被公爵费尔南迪召见的。以上的传说反映了人们对科学传奇的爱好。
高斯在高中，读的是文科哲学班。后来，在他15岁时，进了卡罗琳学院学习。整整三年间，高斯学习语言学和数学，对牛顿、欧拉、拉格朗日等人有很深的理解。
18岁时，高斯进了著名的哥廷根大学。这时候他很矛盾：语言学与数学，到底学哪一个呢？两个都很爱好，但是大学的分科教学不允许“鱼与熊掌兼得”，而且高深的理论也不一定能同时被一人掌握。
结果，1796年3月30日，高斯公布了正十七边形，就是前文提到的古希腊第四难题。这个问题的初步解决，使高斯选择了数学，从此成为世界级的数学大师。
在他19岁以前，也就是11岁时发现了二项式定理；17岁时提出最小二乘法。他如此年轻就取得突破性的成果，被人们称为“欧洲的数学王子”。
高斯一生谨慎，他的日记也是用自己所能理解的符号记的。也正是因为他后来成为权威，特别顾及自己的地位，所以有很多轰动式的发现和创举他不敢向世人宣布，这种保守使他丧失了非欧几何的创立权。
代数基本定理的第一个严格证明就是高斯发现的。1799年，高斯在哥廷根大学的博士论文证明了：每一个实系数方程至少有一个实根或复根。
代数基本定理在代数乃至整个数学中至今起着基础的作用。
高斯后来又给出第二、第三个证明，到他晚年71岁高龄时，还提出了第四个证明方法。
1807年起，高斯担任了哥廷根大学的数学教授和天文台台长，从此成为哥廷根大学的骄傲。
高斯的研究涉及数论、概率、椭圆函数、复变函数、统计，均作出了大的贡献。由于他在十分成熟的条件下才发表，所以，多数著作以遗稿的形式出版。
在天文学方面，高斯提出了三次观测确定行星轨迹的方法。1801年，意大利天文学家观测到了金牛座一颗星与星图不合，连续西移。由于战争原因，他没能及时通知同行，结果这颗星已经找不着了。高斯根据这位天文学家的观测，计算出了轨道，结果人们发现这是人类发现的第一颗小行星，不到半年，天文学家又发现了第二颗小行星，分别命名为谷神星与智神星。
高斯生前发表了155篇尽善尽美的论文。在二次世界大战前，哥廷根大学整理他的遗作，出版了《高斯全集》。
1855年，高斯去世，终年78岁。他在生前得到了极高的荣誉，家喻户晓，举足轻重。但是他保持着沉默寡言的风格，生活也十分俭朴。人们称他是神童或天才时，高斯淡淡地说：“假若别人和我一样能够做到持续地思考数学真理，他们会作出同样的发现。”
高斯最爱的定理就是正十七边形的研究，因为这使他一生发生了重大选择，从而进入数学殿堂，所以在他的塑像下，底座是正十七边形的台基。而高斯的墓碑上，刻有正十七边形的图案。
人们评价道：“高斯是19世纪科学群峰中最高的一座。”
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