大约2300多年前，在古希腊的第罗斯岛发生了可怕的瘟疫，人们纷纷向神祈祷。神庙的祭司对人们说，神要保佑人们，但有一个条件，就是要把正方体祭坛的体积扩大到原来的两倍，神嫌原来的祭坛太小，但不能做成别的形状，还要是正方体。
人们开始忙起来，但凭有限的工具不是体积增得太大就是形状被改变了。有的人把正方体的棱长扩大成原来的两倍，可是这样一来，体积就成为原来的8倍。
于是人们请教柏拉图，结果这成为一道几何难题。
这当然只是一个传说，但是三大几何作图难题却都是与古希腊学者有关。
希波战争使得伊奥尼亚的城邦相继陷落，伊奥尼亚的精英学者大都逃到了雅典，于是在雅典出现了著名的智者学派。
智者在发展语言和诡变时，注意逻辑，他们当中有很多是几何学家，在长期的思辩中，他们提出了三大几何难题：
1.化圆为方。画出面积与已知圆面积相等的正方形。
2.正方倍积。画出体积为已知立方体体积两倍的立方体的边长。
3.三等分任意一角。只用直尺和圆规，不标刻度，三等分任意角。
2000年来，这三道题难倒了无数人。
从公元前5世纪开始，古希腊的学者们就开始研究这些问题。这些问题其实是被希腊人解决了的几何问题的延伸，由于他们可以二等分任意角，自然想到三等分，直到任意等分。由于平面上以原正方形对角线为边长的正方形是原正方形面积的2倍，自然推广到立体几何，想找出2倍的正方体。由于圆的面积可知，那么自然想到找出与圆面积相等的正方形。
据记载，最早研究这些问题的是阿拉萨哥拉，后来梅纳奇马斯、欧几里得、阿基米德这些大几何学家也都研究了这个问题，但都没能成功。直到17世纪，笛卡尔发明了解析坐标系，人们才找到了解析几何的工具。
这三个题目用任何手段均可解出来，但古希腊学者附加了一个前提：尺规作图。而实质上，在尺规限定的条件下，这些问题都是不可能解决的。
比如说2倍立方，其实要求几何学家用直尺和圆规把长度为2的线段开3次方，要画2厘米、2分米、2米等等都行，但要求用直尺和圆规把线段的立方根画出来是不可能的。
笛卡尔最早指出这是不可能的，法国数学家范齐尔于1837年严格证明了用尺规不能作出2的立方根长度。但若是方法不限，工具可以任意标刻，或者用别的物理及代数等方法，结果都可以求出来。
三等分任意角，如果抛开尺规限制，也可以办到。至于化圆为方，1882年德国数学家林德曼证明了，用尺规作图办不到。但是用别的方法当然能办到。公元前460年出生的智者希匹阿斯就设计了割圆曲线来完成了三等分任意角，但不是用尺规画出来的。
从历史上看，最迷人的莫过于三等分任意角。每年都有大批人，特别是青少年向科学院寄送大批稿件，声称解决了三等分角问题。当然这是不可能的，而他们的方法确实能够任意三等分角。这是怎么回事呢？前面已经讲过，有很多其他方法都可以三等分任意角，这并不是不可能的。青少年们犯的错误主要是把自己的方法误认为是尺规作图法，这主要是由于没有明白尺规作图的含义。也有的人由于对问题了解较少，认为三大难题就是没有限制的，所以求出了解。
也就是说，真正的三大难题是不能求解的，因为均限制在尺规作图范围内。而抛开限制，这三大难题就成为数学游戏，都可以解决，不过需要巧妙的办法和足够的数学思想与知识。
有兴趣的人可以认真了解一下尺规作图的含义，从而得知尺规作图的不可能原理。
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