然而却有人提出：部分等于整体！
这是谁呢？他是不是疯子？
是的，康托尔提出这个思想的时候，人们也说他疯了。然而就是这个思想，成为近代以来人类整个思维的大革命之一。
集合论的最中心难点就是无限集合概念。从希腊时代，数学家们与哲学家就意识到这种无限集合。
无限集：两个集合的元素之间如果能建立一一对应关系，这两个集合就叫做等价的。如果一集合能与它的真子集等价，这个集合就是无限集。
哲学家亚里士多德曾经考虑过无限集合，但是长期不能理解，最后他认定：一个无限的集合不可以作为固定的整体而存在，他不承认无限集合。
首先探讨到无限集合本质的是大科学家伽利略。他想出两组数，一组是1，2，3，……，这样无限排列的自然数。一组是将这些数都平方，形成1，4，9……，这样的组数连线，那么1可以和1相连，2可以和4相连，如此下去，一一对应，无穷无尽。
但是问题出来了，自然数平方之后的数是1，4，9，这样的数，绝不会出现3，7，5，6，8，11等这样的数，这就说明，第二组数是自然数的一部分，可是部分的个数与整体的个数却一一对应，如此一来，岂不成为“部分等于整体”了？
人们把这个问题叫“伽利略悖论”。
数学王子高斯为此曾经说：“我反对把无限量当成实体，这在数学中坚决不允许。无限只能是说话的一种方式，当人们确切地说到极限时，是指某些值可以任意地趋近它，而另一些则允许没有界限地增加。”
柯西也认为，无限集合不能存在，因为他认为，绝对不能让“整体等于部分”。
1845年3月3日，俄国彼得堡犹太富翁的家里，诞生了一个男孩，他就是康托尔。
1856年，小康托尔跟着父母去了德国，在法兰克福定居。
在康托尔15岁那年，就要做一名数学家。
他很小就被数学迷住了，以至考入威斯巴登大学预科学校时，下定了从事数学研究的决心。1863年，康托尔进了柏林大学，专门学习数理科学。柏林大学是德国具有盛誉的大学，在欧洲也是一座名校。善于思辩的传统在这里更加表现为理论上的无比艰深和考虑问题的复杂性与深刻性。
1867年，康托尔获得博士学位。两位导师之中，一为魏尔斯特拉斯，是著名的数学分析大师；一为克罗奈克。
据说，康托尔的论文独到性不是很强。为此，他的导师克罗奈克对他说：“柏林大学的数理科学在欧洲学术界举足轻重，人才辈出，你作为一名最高学位的获得者，一定要勤加努力，要为柏林大学争光。我为你的创见感到担心。”
另一位老师魏尔斯特拉斯对他说：“个人的努力总会换来成绩，要上进深思才可以成就辉煌的理论。”
结果，没有想到的是这位学生做出了太富有创见性的成果，以至于高出了人们的认识水平，他们做老师的也接受不了。
1869年，康托尔在哈勒大学做讲师，但是他只谋得了带课而不拿钱的职位。尽管如此，康托尔还是开始研究。1872年，康托尔把数论中的一个定理推广到了无穷集合的研究中，这使他走上了“一去永不回”的风雨之路。
1874年，康托尔发表了第一篇关于集合论的论文。在这篇文章里，康托尔引入了基数的概念。建立了以后被称为“康托尔公理”的实数连续性公理。他证明超越数大大多于代数数，这一成果举世震惊。
欧拉说过，超越数“超越了代数方法的能力之外”。康托尔证明，全体代数数是可以数清的，因而是有限的，而因为实数集是不可数的，所以数轴上几乎全部的数都是超越数。这太令人惊奇了！
对于超越数，真到现在人们的研究仍处于落后状态，比如说人们只知道什么是超越数，但超越数的加减法怎么样？两个超越数相加能不能是超越数？这一切就有待于后人去研究了。
1878年，康托尔发表了第二篇论文。之后6年内，他又发表了一系列论文。提出了“集合的势”等概念，建立了集合的等势理论。此外，他还奠定了由基本序列建立实数理论的基础。康托尔还是维数理论的开拓者，这一理论为拓扑学空间理论提供了新的发展道路。
在1879―1905年，康托尔担任了哈勒大学的教授。然而，人们对他的惊人设想感到古怪离奇，从第一篇文章发表，所有的人就几乎找不出能与他对话的。
涉及到理论与概念时，人们就发现康托尔的思维和所有传统的方法、思路都不一样，当然和大家更是大相径庭了。人们不理解康托尔，认为他真是一名“妄想型的精神病患者”。
是啊，这些观念多么“荒谬”：
一个短短的线段所包含的点与整个宇宙包含的点一样多。
任何两组东西，只要是一一对应，就是一样多，部分小于全部只在有限情况下适用，而在无限情况下，部分可以等于全部。
康托尔发现了有限集、无限集之间的区别在于：有限集不可能与真子集等价，而无限集却可以与真子集等价。
这一切一切，既不符合公理，也不符合常识，不是“疯子”又是什么呢？康托尔的老师没想到，他们的学生竟然“天才”地离了谱！
人们攻击康托尔，却忽视了康托尔论点的严密推理和逻辑证明。1891年，康托尔的老师之一，数学家克罗奈克去世了，他至死都认为他的学生为他自己丢了名誉，这还不算什么，更严重的是，全欧洲都知道是柏林大学培养了一名疯子！
1884年，在严重的打击下，康托尔精神失常了。过了八、九年，康托尔的论点引起了人们的重视。魏尔斯特拉斯也开始支持自己的学生了，康托尔似乎恢复了健康，他没有了怪异的行为，逐渐镇静和清醒。
真是公理的恩赐呀！
1897年，苏黎士举行国际数学家第一次大会。在这之前，瑞典数学的最高权威——莱夫勃已经将康托尔的论文译成法文在《数学学报》上发表。
国际大会重点宣读了康托尔的集合论。而此时，他已经成为德国数学家协会和国际数学家大会的筹建人之一。
进入20世纪，康托尔已经成为享有国际盛誉的数学大师，他是集合论的开创者，他做出了“这一时代最使人类引以为荣的工作”。
他是人类思维的重大变革者，昭示了科学的创新精神。
1918年，康托尔病逝。
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